basis aljabar linear

Nama : Ngadiyono

NIM    : 1204829

Kelas   :MAT A 2012

8.(6.e) tentukan basis untuk ruang baris dari A dengan mereduksi matriks tersebut menjadi eselon baris !

Jawab;

Dengan mereduksi matriks A menjadi eselon baris diperoleh;

           
Menurut teorema 5.5.6 basis untuk ruang baris dari matriks A yang berbentuk eselon baris adalah vektor-vektor baris dengan 1 utama. Jadi vektor-vektor basis ini adalah

            r₁ = (1,-3,2,2,1)

            r₂ = (0,1,2,0,-1)

            r₃ = (0,0,1,0,-)

11.b tentukan basis untuk subruang dari R⁴ yang direntang oleh vektor-vektor berikut!

(-1,1,-2,0),(3,3,6,0),(9,0,0,3)

Penyelesaian.

Misalkan vektor-vektor tersebut adalah v₁,v₂, dan v₃

            Kecuali variasi dalam notasi, ruang yang direntang oleh vektor-vektor ini adalah ruang baris dari matriks

            Dengan mereduksi matriks ini menjadi bentuk eselon baris melalui OBE

Menurut teorema 5.5.6 basis untuk ruang baris dari matriks A yang berbentuk eselon baris adalah vektor-vektor baris dengan 1 utama. Jadi vektor-vektor basis untuk subruang R⁴ yang direntang oleh v₁,v₂, dan v₃ adalah                      

w₁ = (1,-1,2,0)

            w₂ = (0,1,0,0)

            w₃ = (0,0,1,-)

11.c tentukan basis untuk subruang dari R⁴ yang direntang oleh vektor-vektor berikut!

(1,1,0,0),(0,0,1,1),(-2,0,2,2),(0,-3,0,3)

Penyelesaian.

Misalkan vektor-vektor tersebut adalah v₁,v₂, dan v₃

            Kecuali variasi dalam notasi, ruang yang direntang oleh vektor-vektor ini adalah ruang baris dari matriks

  

Dengan mereduksi matriks ini menjadi bentuk eselon baris melalui OBE

Menurut teorema 5.5.6 basis untuk ruang baris dari matriks A yang berbentuk eselon baris adalah vektor-vektor baris dengan 1 utama. Jadi vektor-vektor basis untuk subruang R⁴ yang direntang oleh v₁,v₂, dan v₃ adalah                      

w₁ = (1,1,0,0)

            w₂ = (0,1,1,1)

            w₃ = (0,0,1,1)

            w₄ = (0,0,0,1)

12.c tentukan subhimpunan vektor-vektor yang membentuk basis untuk ruang yang direntang oleh vektor-vektor berikut; kemudian nyatakan setiap vektor yang tidak terdapat di dalam basis sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis !

v₁ = (1,-1,5,2)

            v₂ = (-2,3,1,0)

            v₃ = (4,-5,9,4)

            v₄ = (0,4,2,-3)

            v₅ = (-7,18,2,-8)

jawab;

penyelesaian..

langkah 1. Susunlah matriks A yang mempunyai v_1, v_2, v_3, v_4,  dan v₅  sebagai vektor-vektor kolomnya.

                                                            v₁      v₂        v₃          v₄          v₅

langkah 2. Reduksilah matriks A menjadi bentuk eselon baris tereduksi R, dan misalkan w_1, w_2, w_3, w_4, dan w₅ adalah vektor-vektor kolom dari R.

            Dengan mereduksi matriks A menjadi bentuk eselon baris tereduksi diperoleh;

                                                              w₁    w₂    w₃    w₄   w₅

langkah 3. Identifikasikan kolom-kolom pada R yang mengandung 1 utama

                    1 utama terdapat pada kolom-kolom 1, 2, dan 4, sehingga menurut teorema 5.5.6

{w_1, w_2, w₄}

adalah basis ruang kolom matriks R dan sebagai konsekuensinya

{v_1, v_2, v₄}

adalah basis untuk ruang kolom matriks A.

Langkah 4. Nyatakan setiap kolom-kolom pada R yang tidak mengandung 1 utama sebagai suatu kombinasi linear dari aktor-vaktor kolom sebelumnya yang mengandung 1 utama.

            Kita bisa menyatakan w₃ dan w₅ sebagai kombinasi linear dari vektor-vektor basis,

                                    w₃ = 2w₁ – w₂

                                                            w₅ = - w₁ + 3w₂  + 2w₄

dengan demikian kita bisa menyatakan

v₃ = 2v₁ – v₂

                                                            v₅ = - v₁ + 3v₂  + 2v₄