soal dan jawaban aljabar linear tentang ruang vektor

Nama    : Ngadiyono

NIM       : 1204829

TUGAS ALJABAR LINEAR

Latihan 5.1 hal. 234

               Tentukan apakah himpunan di bawah ini merupakan ruang vektor. Bila bukan ruang vektor tuliskan aksioma-aksioma yang tidak terpenuhi !

1.      Himpunan semua tripel bilangan real (x, y, z) dengan operasi

(x, y, z) + (x’, y’, z’) = (x+x’, y+y’, z+z’) dan

k(x, y, z) = (kx, y, z)

jawaban ;

            himpunan tersebut bukan ruang vektor karena tidak memenuhi aksioma kedelapan, yaitu;

(A8)        (k+l)u = ku + lu

Ambil k=2, l=3, dan u=(3,4,5)

(k+l)u     = (2+3)(3,4,5)

               = 5(3,4,5)

               = (15,4,5)

      (ku + lu)= 2(3,4,5)+ 3(3,4,5)

                     = (6,4,5) + (9,4,5)

                     = (15,8,10)

Karena (k+l)u ≠ ku + lu maka himpunan tersebut bukan ruang vektor.

6.     Himpunan semua pasangan bilangan real berbentuk (x, y), di mana x ≥ 0, dengan operasi standar pada R²             

         Jawaban;

                     Himpunan tersebut bukan ruang vektor karena tidak memenuhi aksioma kelima dan aksioma keenam, yaitu;

               (A5) (u) + (-u) = (-u) + (u) = ϴ

         Ambil u =(3, 4) dan ϴ=(0,0)  

Misal (-u) = v , maka

u + v = ϴ

               (3, 4) + (x, y)  = (0,0)

                              (x, y) = (0 + (-3), 0 + (-4))

                              (x, y) = (-3, -4)

               Dimana x = -3 tidak memenuhi x ≥ 0 jadi aksioma kelima tidak dipenuhi.

(A6) untuk sebarang skalar k dan u ϵ V, berlaku ku ϵ V

    Ambil k=-2, u=(3, 5)

                           Ku = (-2)(3, 5)

                                 = (-6, -10)

            Karena -6 ≤ 0 maka ku bukan anggota V jadi aksioma keenam tidak dipenuhi.Jadi himpunan tersebut bukan ruang vektor karena tidak memenuhi (A5) dan (A6).